阅读完本文可以了解到 0.1 + 0.2
为什么等于 0.30000000000000004
以及 JavaScript 中最大安全数是如何来的。
十进制小数转为二进制小数方法
拿 173.8125 举例如何将之转化为二进制小数。
①. 针对整数部分 173,采取除 2 取余,逆序排列
;
1 | 173 / 2 = 86 ... 1 |
得整数部分的二进制为 10101101
。
②. 针对小数部分 0.8125,采用乘 2 取整,顺序排列
;
1 | 0.8125 * 2 = 1.625 | |
得小数部分的二进制为 1101
。
③. 将前面两部的结果相加,结果为 10101101.1101
;
小心,二进制小数丢失了精度!
根据上面的知识,将十进制小数 0.1
转为二进制:
1 | 0.1 * 2 = 0.2 |
可以发现有限十进制小数 0.1
却转化成了无限二进制小数 0.00011001100...
,可以看到精度在转化过程中丢失了!
能被转化为有限二进制小数的十进制小数的最后一位必然以 5 结尾(因为只有 0.5 * 2 才能变为整数)。所以十进制中一位小数 0.1 ~ 0.9
当中除了 0.5
之外的值在转化成二进制的过程中都丢失了精度。
推导 0.1 + 0.2 为何等于 0.30000000000000004
在 JavaScript 中所有数值都以 IEEE-754 标准的 64 bit
双精度浮点数进行存储的。先来了解下 IEEE-754 标准下的双精度浮点数。
这幅图很关键,可以从图中看到 IEEE-754 标准下双精度浮点数由三部分组成,分别如下:
- sign(符号): 占 1 bit, 表示正负;
- exponent(指数): 占 11 bit,表示范围;
- mantissa(尾数): 占 52 bit,表示精度,多出的末尾如果是 1 需要进位;
推荐阅读 JavaScript 浮点数陷阱及解法,阅读完该文后可以了解到以下公式的由来。
精度位总共是 53 bit,因为用科学计数法表示,所以首位固定的 1 就没有占用空间。即公式中 (M + 1) 里的 1。另外公式里的 1023 是 2^11 的一半。小于 1023 的用来表示小数,大于 1023 的用来表示整数。
指数可以控制到 2^1024 - 1,而精度最大只达到 2^53 - 1,两者相比可以得出 JavaScript 实际可以精确表示的数字其实很少。
0.1
转化为二进制为 0.0001100110011...
,用科学计数法表示为 1.100110011... x 2^(-4)
,根据上述公式,S
为 0
(1 bit),E
为 -4 + 1023
,对应的二进制为 01111111011
(11 bit),M
为 1001100110011001100110011001100110011001100110011010
(52 bit,另外注意末尾的进位),0.1
的存储示意图如下:
同理,0.2
转化为二进制为 0.001100110011...
,用科学计数法表示为 1.100110011... x 2^(-3)
,根据上述公式,E
为 -3 + 1023
,对应的二进制为 01111111100
, M
为 1001100110011001100110011001100110011001100110011010
, 0.2
的存储示意图如下:
0.1 + 0.2
即 2^(-4) x 1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010 与 2^(-3) x 1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010 之和
1 | // 计算过程 |
0.01001100110011001100110011001100110011001100110011001110
转化为十进制就是 0.30000000000000004
。验证完成!
JavaScript 的最大安全数是如何来的
根据双精度浮点数的构成,精度位数是 53 bit
。安全数的意思是在 -2^53 ~ 2^53
内的整数(不包括边界)与唯一的双精度浮点数互相对应。举个例子比较好理解:
1 | Math.pow(2, 53) === Math.pow(2, 53) + 1 // true |
Math.pow(2, 53)
竟然与 Math.pow(2, 53) + 1
相等!这是因为 Math.pow(2, 53) + 1 已经超过了尾数的精度限制(53 bit),在这个例子中 Math.pow(2, 53)
和 Math.pow(2, 53) + 1
对应了同一个双精度浮点数。所以 Math.pow(2, 53)
就不是安全数了。
最大的安全数为
Math.pow(2, 53) - 1
,即9007199254740991
。